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Mathe-Lösung: Schwere Aufgabe für Neuntklässler

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Volle Konzentration: Die Neuntklässler bei ihrer Klausur. Foto: Schöneck
Hier kommt die Lösung der Matheaufgabe aus unserer Dienstagsausgabe vom 26. Februar 2013.
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Deutz

Aus Anlass des Landesentscheids zur Mathematik-Olympiade, an dem am Wochenende 350 „Schülerinnen und Schüler nach Köln gekommen waren, haben wir unseren Leserinnen und Lesern eine Beispielaufgabe für Neuntklässler präsentiert:

„Streicht man die erste Ziffer und hängt sie hinter die verbleibenden fünf Ziffern an, dann erhält man eine Zahl, die dreimal so groß ist wie z. Man ermittle alle Zahlen z, die diese Bedingungen erfüllen.“

Die Lösung:

Stefan Mehner, Mitorgansiator der Landesrunde der Mathmatik-Olympiade verrät die Lösung: 142857 und 285714

Der Mathematik-Fan Stefan Mehner erläutert den Lösungsweg:

Da es nur 900 000 sechstellige Zahlen gibt, könnte man sie im Prinzip der Reihe nach ausprobieren. Selbst wenn man für jede Zahl nur eine Sekunde braucht und ununterbrochen rechnet, dauert das über 10 Tage. Ein Computer liefert das Ergebnis schneller. Den Schülern steht während der Olympiade aber weder genug Zeit, noch ein Computer zur Verfügung. In der neunten Klasse hat man zum Beispiel drei Stunden Zeit für drei Aufgaben. Hier zeigt sich der Unterschied zwischen Mathe und Rechnen: Mathematik ist die Kunst das Rechnen zu vermeiden, wie Georg Cantor bemerkte.

Das Rechnen vermeiden

Selbst wer außerordentlich schnell und sicher im Kopf rechnen kann, hat ohne eine gute Idee keine Chance. Genau darum geht es bei der Matheolympiade: Gute Ideen zu haben. Die folgende Herleitung fällt darum vermutlich nicht jedem Neuntklässler ein. Durch irgendwas müssen sich die Besten des Landes ja auch auszeichnen. Sie benutzt aber andererseits nur Mittel, die man als Neuntklässler gelernt haben könnte.

Der Lösungsweg:

Wir nennen die einzelne Ziffer n und die Zahl, die aus den übrigen 5 Ziffern besteht m. Hängt man die einzelne Ziffer vorne an, so ist das Ergebnis z=100 000n+m. Hängt man die Ziffer dagegen hinten an, erhält man 3z=n+10m. Durch Einsetzen folgt n+10m=3(100 000n+m). Jetzt kann man ausklammern: n+10m=300 000n+3m, dann zusammenfassen: 7m=299 999n und durch 7 teilen: m=42 857n. Da n eine einzelne Ziffer ist, kann es nur 1,2,3, . .,oder 9 sein. Für n=1 erhält man m=42 857 und z=142 857. Tatsächlich ist 3z=428 571. Für n=2 erhält man m=85 714 und z=285 714. Auch hier gilt wirklich 3z=857 142. Wenn n mindestens 3 ist, dann ist m keine fünfstellige Zahl mehr. Es gibt also nur die beiden Lösungen z=142 857 und z=285 714.

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